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數列與級數
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在數列與級數的教材方面,希望學童能從觀察日常生活中有規則性的數列或圖形過程中,運用歸納的方法,察覺數列和圖形的規律。在教學上,我們可以引導學童運用觀察圖形或數列、一步一步畫圖或畫數線等方式,察覺數列或圖形的規律。我們也不要急於教導學童,讓學童發揮他的想像力,提出多元而具有創造力的解題方法,讓學童在玩數字或圖形遊戲的過程中快樂學數學。

本單元的學習重點如下:
1.能從日常生活的事物或遊戲中,觀察一串數字或圖形的關係,並理解其規則性。
2.能夠歸納並使用規則性算式進行作答。
3.在小學階段中,所學到的數列與級數大多侷限在等差級數和等比級數兩種。當然,也有例外的情形。

等差數列:定義是數列中的後一項減前一項的差是一個固定的數(公差)。

例如: 1 4 7 10 13 16 19 22 ……

4-1=3=7-4=10-7=13-10=16-13=19-13=…

我們把這種數列稱為等差數列。

等差級數:
等差數列的和,稱為數等差級數。在計算等差級數的總和時,孩子可能會列出所有的數列然後一項一項進行加法,由於項數太多,孩子比較可能會計算錯誤,所以我們透過歸納,發現到等差級數可以使用「高斯公式」來簡化算式,增加計算的速度以及正確性。

偶數項
例如:1+ 2+ 3+ 4=?

偶數項的式子可以透過前後配對方式,

此時可以發現前後 2項相加都是5,所以我們可以簡化式子

1+2+3+4=(1+4)×(4÷2)=10,其中×(4÷2)是因為總共有2個5(所有項數配對2個一組,所以只能配對出一半的項數),所得答案即是我們所求的和。

我們發現,如果項數是奇數,上面的解釋,孩子就比較不容易理解,所以我們可以透過下列方式讓孩子瞭解奇數項 (甚至偶數項)的時候是可以這樣算的。

奇數項(或偶數項)
例如: 1 + 2 + 3=?(三項)
我們可以把這一列數字相反後,
1+2+3………原本式子
3+2+1………顛倒後式子

此時可以發現上下 2項相加都是4,所以我們可以簡化式子

1+2+3=(1+3)×3÷2=6,其中×3是因為總共有3個4,但是我們只要算一個式子,所以最後要除以2(即一半是我們所求的和)。

等比數列:定義一數列的後項除以前項為一個定值(公比),。 例如: 1 2 4 8 16 32 64 128…

2÷1=2=4÷2=8÷4=16÷8=32÷16=64÷32=128÷64=…

所以我們把這一串數列稱做等比數列。

k 等比級數:等比數列的和,稱為等比級數。在國小階段,等比級數的計算方法或公式 ,我們比較少介紹。

《輔導小密笈》
了解題意: 孩子在解答問題時,了解題意是非常重要的問題。為了了解孩子是否真的了解題意,可以請孩子把問題用他自己的話重述一遍。讓孩子把題目重新“唸一遍”或者透過“動手做”,否則我們無法了解孩子是否真的了解題意。假如孩子沒有辦法了解題意,家長可以就題目的關鍵內容提出問題,協助孩子掌握題目的重點,使孩子了解題目的意思。

自行解題: 因為在任何的考試過程中,孩子都必須一人獨自應對,大人無法在旁提示,所以當孩子了解題意之後,我們建議先讓孩子自行解答問題,養成孩子可以自行解題的思考策略。當然,家長要給孩子足夠的時間解題,不要急於提示小孩如何做答。家長也可以從孩子解題的過程中,了解孩子的解題方式和容易做錯的地方,並協助改正。

《與孩子討論結果》
正確解答
假如孩子可以正確解答,我們也要詢問孩子為什麼要這樣算,因為有些孩子可以看過DVD或電視,他把還記得剛才看過的做法,因此把它“重述”給家長看。另一方面,我們研究上發現,能夠把解題過程中的概念清楚的說出來的孩子,他對問題的了解比沒有辦法說出來的孩子來得好,也比較容易知道如何把所學到的知識應用到其他的問題上。

解答錯誤或無法解題數學教育研究上告訴我們,製造學生的認知衝突是讓孩子把問題的關鍵記得更久、更清楚的好方法。直接告訴孩子那個地方做錯了,對孩子的學習幫助不是很大。因此,面對孩子的錯誤解答,家長要運用適當的策略幫助孩子學習。例如,可以問孩子:「你為什麼要這樣算?」,「這樣算的意思是什麼?」。

家長也可以運用或提示孩子,我們可以運用“把數據簡化”或者用“畫圖(例如,把題目中具體圖形畫出來)”的方式來了解題目要怎麼算 – 這樣可以連結孩子以前學習的經驗,讓孩子更有感覺、更具體的很好方式。

 

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(2004.01.07 15:46:02)